Kajian Materi Matematika Pend Dasar: BILANGAN CACAH

BAB 1

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang Masalah

Bilangan cacah merupakan konsep dasar yang semestinya dikuasai dan dipahami anak sehingga dapat menguasai dan memahami aplikasi konsep ini dalam kehidupan sehari-hari. Dengan adanya tuntutan ini perlu kiranya dipelajari melalui pembelajaran bermakna mengenai konsep bilangan cacah. Sebagai aplikasinya calon guru SD dan guru SD sebagai pendidik seyogyanya mampu memahami dan menguasai konsep bilangan cacah dan terampil menyajikan secara bermakna baik pada siswa dikelas rendah maupun dikelas tinggi. Oleh karena itu makalah ini menyajikan tentang konsep bilangan cacah, operasi bilangan cacah, dan sifat-sifat bilangan cacah.

B.     Rumusan Masalah

1.    Bagaimana konsep bilangan cacah?

2.    Bagaimana sifat-sifat dan operasi yang terdapat pada bilangan cacah?

C.    Tujuan

1.    Untuk membahas mengenai konsep bilangan cacah.

2.    Untuk membahas mengenai sifat-sifat dan operasi bilangan cacah.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Konsep Bilangan Cacah

a.    Pengertian bilangan cacah

Bilangan cacah merupakan himpunan semua bilangan bulat yang nilainya tidak negatif. Atau juga bisa diartikansebagai himpunan dari semua bilangan asli dan ditambah bilangan 0 ( nol ). Dari pengertian itu kita dapat menyimpulkan bahwa bilangan cacah harus memiliki tanda positif (+).

b.    Himpunan bilangan cacah

1.    Terdiri dari bilangan prima = ( 2, 3, 5, 7, ...)

2.    Terdiri dari bilangan kuadrat = (0, 1, 4, 9, ...)

3.    Terdiri dari bilangan asli = (1, 2, 3, 4,..)

4.    Terdiri dari bilangan genap = ( 0, 2, 4, 6, ...)

5.    Terdiri dari bilangan ganjil = (1, 3, 5, 7, ...)

6.    Terdiri dari bilangan komposit (tersusun) = (4, 6, 8, 12, ...)

Dari himpunan-himpunan tersebut dapat disimpulkan bahwa himpunan bilangan cacah yakni (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)

B.     Sifat-sifat Bilangan Cacah

a.    Sifat-sifat dalam penjumlahan

Ø Sifat tertutup yang berarti hasil dari penjumlahan bilangan cach a dan bilangan cacah b adalah berupa bilangan cacah.

Contoh:

0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

Ø Sifat komutatif atau juga sering dikenal dengan sifat pertukaran.

a + b = b + a

contoh:

1 + 0 = 0 + 1 = 1

3 + 1 = 1 + 3 = 4

Ø Sifat asosiatif juga dikenal dengan nama sifat pengelompokan

( a + b ) + c = a + ( b + c )

Contoh:

( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 ) = 0

( 3 + 1 ) + 6 = 3 + ( 1 + 6 ) = 10

Ø Sifat identitas yang berarti apabila dijumlah suatu bilangan cacah dengan bilangan nol maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri misalnya

0 + a = a + 0 = a

Contoh:

0 + 3 = 3 + 0 = 3

5 + 0 = 5

b.    Sifat-sifat dalam pengurangan

Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r bilangan cacah berlaku

Ø ( a – b ) + c = ( a + c ) – b : syarat a > b

Ø ( a – b) + c = a – ( b – c )   : syarat a > b dan b > c

Ø a – b  = ( a + c ) – ( b + c ) : syarat a > b

Ø ( a – b ) – c = ( a – c ) – b : syarat a > b dan ( a – b ) > c

Ø ( a – b ) – c = a – ( b + c )  : syarat a > b dan ( a – b ) > c

Ø a – b = ( a – c ) – ( b – c ) : syarat a > b dan b > c

Ø ( a + b + c ) – ( p + q + r ) = ( a – p) + ( b – q ) + ( c – r ) : syarat a > p, b > q dan c > r

    

c.    Sifat-sifat dalam perkalian

Ø Sifat tertutup

Contoh:

0 x 1 = 0

1 x 2 = 2

Ø Sifat komutatif

a x b = b x a

Contoh:

1 x 0 = 0 x 1 = 0

3 x 1 = 1x 3 = 3

Ø Sifat asosiatif

( a x b ) x c = a x ( b x c )

Contoh:

( 1 x 2 ) x 3 = 1 x ( 2 x 3 ) = 6

( 3 x 1) x 6 = 3 x ( 1 x 6 ) = 18

Ø Sifat distributif atau penyebaran

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c)

Contoh:

2 x ( 3 + 4 ) = ( 2 x 3 ) + ( 2 x 4 ) = 14

4 x ( 1 + 3 ) = ( 4 x 1) + ( 4 x 3 ) = 16

Ø Perkalian dengan bilangan nol adalah nol ( 0 )

a x 0 = 0 x a = 0

Contoh:

5 x 0 = 0

0 x 14 = 0

Ø Unsur identitas

Apabila dikalikan satu maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

1 x a = a x 1 = a

Contoh:

1 x 34 = 34 x 1 = 34

d.   Sifat-sifat dalam pembagian

Ø Sifat bilangan nol dalam pembagian

Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r bilangan cacah berlaku

0 : a = 0 untuk a ≠ 0

a : 0 = tidak didefinisikan

0 : 0 = tidak tentu

Ø ( a : b ) : c = a : ( b : c )

syarat:  b faktor dari a dan c faktor dari b

Ø ( a b c ) : ( p q r ) = a/p x b/q x c/r

syarat : a, b, c, p, q, r  merupakan bilangan asli

·      p faktor dari a

·      q faktor dari b

·      r faktor dari c

Ø a : b = ( c a ) : ( c b )

syarat : c ≠ 0 dan b faktor dari a

Ø a : b = ( a/c ) : ( b/c)

syarat : b faktor dari a dan c faktor dari b

Ø ( a : b ) : c = a : ( b : c )

Syarat : b dan c faktor dari a

Ø ( a : b ) : c = ( a : c ) : bSyarat : b dan c faktor dari a

Ø Sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan

( a + b ) : c = ( a/c ) + ( b/c )

Syarat : c faktor dari a dan b

Ø Sifat distributif pembagian terhadap pengurangan

( a – b ) : c = a/c – b/c

Syarat : a > b dan c faktor dari a dan b

Ø Jika a < b, c faktor dari a dan b, maka a/c < b/c

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Bilangan cacah merupakan himpunan semua bilangan bulat yang nilainya tidak negatif.

Himpunan bilangan cacah

1.    Terdiri dari bilangan prima = ( 2, 3, 5, 7, ...)

2.    Terdiri dari bilangan kuadrat = (0, 1, 4, 9, ...)

3.    Terdiri dari bilangan asli = (1, 2, 3, 4,..)

4.    Terdiri dari bilangan genap = ( 0, 2, 4, 6, ...)

5.    Terdiri dari bilangan ganjil = (1, 3, 5, 7, ...)

6.    Terdiri dari bilangan komposit (tersusun) = (4, 6, 8, 12, ...)

Dari himpunan-himpunan tersebut dapat disimpulkan bahwa himpunan bilangan cacah yakni (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)

Sifat-sifat Bilangan Cacah

1.    Sifat-sifat dalam penjumlahan

Ø Sifat tertutup yang berarti hasil dari penjumlahan bilangan cach a dan bilangan cacah b adalah berupa bilangan cacah.

Ø Sifat komutatif atau juga sering dikenal dengan sifat pertukaran.

a + b = b + a

Ø Sifat asosiatif juga dikenal dengan nama sifat pengelompokan

( a + b ) + c = a + ( b + c )

Ø Sifat identitas yang berarti apabila dijumlah suatu bilangan cacah dengan bilangan nol maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri misalnya

0 + a = a + 0 = a

2.    Sifat-sifat dalam pengurangan

Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r bilangan cacah berlaku

Ø ( a – b ) + c = ( a + c ) – b                      syarat a > b

Ø ( a – b) + c = a – ( b – c )                       syarat a > b dan b > c

Ø a – b  = ( a + c ) – ( b + c )                     syarat a > b

Ø ( a – b ) – c = ( a – c ) – b                      syarat a > b dan ( a – b ) > c

Ø ( a – b ) – c = a – ( b + c )                      syarat a > b dan ( a – b ) > c

Ø a – b = ( a – c ) – ( b – c )                      syarat a > b dan b > c

Ø ( a + b + c ) – ( p + q + r ) = ( a – p) + ( b – q ) + ( c – r )                      syarat a > p, b > q dan c > r

3.    Sifat-sifat dalam perkalian

Ø  Sifat tertutup

Ø  Sifat komutatif

a x b = b x a

Ø  Sifat asosiatif

( a x b ) x c = a x ( b x c )

Ø  Sifat distributif atau penyebaran

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c)

Ø  Perkalian dengan bilangan nol adalah nol ( 0 )

a x 0 = 0 x a = 0

Ø  Unsur identitas 

Apabila dikalikan satu maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

1 x a = a x 1 = a

4.    Sifat-sifat dalam pembagian

Ø  Sifat bilangan nol dalam pembagian

Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r bilangan cacah berlaku

0 : a = 0 untuk a ≠ 0

a : 0 = tidak didefinisikan

0 : 0 = tidak tentu

Ø  ( a : b ) : c = a : ( b : c )                       

syarat:  b faktor dari a dan c faktor dari b

Ø  ( a b c ) : ( p q r ) = a/p x b/q x c/r                   

syarat : a, b, c, p, q, r  merupakan bilangan asli

·         p faktor dari a

·         q faktor dari b

·         r faktor dari c

Ø  a : b = ( c a ) : ( c b )

syarat : c ≠ 0 dan b faktor dari a

Ø  a : b = ( a/c ) : ( b/c)

syarat : b faktor dari a dan c faktor dari b

Ø  ( a : b ) : c = a : ( b : c )

Syarat : b dan c faktor dari a

Ø  ( a : b ) : c = ( a : c ) : b

Syarat : b dan c faktor dari a

Ø  Sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan

( a + b ) : c = ( a/c ) + ( b/c )

Syarat : c faktor dari a dan b

Ø  Sifat distributif pembagian terhadap pengurangan

( a – b ) : c = a/c – b/c

Syarat : a > b dan c faktor dari a dan b

Ø  Jika a < b, c faktor dari a dan b, maka a/c < b/c