BAB 1
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang Masalah
Mata kuliah
filsafat dan sejarah pendidikan matematika diperguruan tinggi khususnya bab iv
tentang sejarah matematika merupakan sumber nilai dan pengetahuan dalam
pengembangan dan penyelengaraan program studi, guna mengantarkan mahasiswa
memantapkan kepribadiannya sebagai manusia seutuhnya. Hal ini berdasarkan pada
suatu realitas yang dihadapi, bahwa mahasiswa adalah sebagai generasi bangsa
yang harus memilki visi inteletual, religius, berkeadaban, berkemanusiaan dan
cinta tanh air dan bangsanya.
Filsafat dan
sejarah pendidikan matematika adalah mata kuliah ysng berguna untuk membantu
mahasiswa memantapkan kepribadiannya, agar secara konsisten mampu mewujudkan
nilai-nilai dasar matematika untuk menerapkan, mengembangkan bakat dan keahlian
(skill), karena ilmu ini bisa membawa kita menuju masa depan yang cerah dan
mempunyai rasa tanggung jawab dan bermoral.
B.
Rumusan
Masalah
1.
Apa yang melatar belakangi munculnya teori bilangan ?
2.
Apa yang melatar belakangi munculnya teori aljabar ?
3.
Apa yang melatar belakangi teori statistik ?
4.
Apa yang melatar belakangi teori kalkulus ?
5.
Bagaimana hubungan antara
geometri euclid dan non euclid ?
C.
Tujuan
1. Untuk
mengetahui sejarahteori bilangan
2. Untuk
mengetahui sejarah aljabar
3. Untuk
mengetahui sejarah statistik
4. Untuk
mengetahui sejarah kalkulus
5. Untuk
mengetahui sejarah geometri euclid dan non-euclid
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Sejarah
Teori Bilangan
Teori adalah
serangkaian bagian atau variabel, definisi, dan dalil yang saling berhubungan.
Secara umum, teori merupakan analisis hubungan antara fakta yang satu dengan
fakta yang lain pada sekumpulan fakta-fakta. Berbeda dengan teorema, pernyataan
teori umumnya hanya diterima secara “sementara” dan bukan merupakan pernyataan
akhir yang konklusif. Hal ini mengindikasikan bahwa teori berasal dari
penarikan kesimpulan yang memiliki potensi kesalahan, berbeda dengan penarikan
kesimpulan pada pembuktian matematika. Sebuah teori membentuk generalisasi atas
banyak pengamatan dan terdiri atas kumpulan ide yang koheren dan saling berkaitan.
Teori
merupakan suatu hipotesis yang
telah terbukti kebenarannya. Manusia
membangun teori untuk menjelaskan, meramalkan, dan menguasai fenomena tertentu
(misalnya, benda-benda mati, kejadian-kejadian dialam, atau tingkah laku hewan). Sering kali, teori dipandang sebagai suatu model atas
kenyataan (misalnya : apabila kucing mengeong berarti minta makan). Sebuah
teori membentuk generalisasi atas banyak pengamatan dan terdiri atas
kumpulan ide yang
koheren dan saling berkaitan.
Bilangan
adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol
ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai
angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama
bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan
negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.
Berikut ini akan dijelaskan mengenai sejarah dan
perkembangan bilangan (teori bilangan) dari jaman dahulu sampai yang
dipergunakan sekarang ini.
a.
Sejarah
Matematika
Purbakala
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa
yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil
di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu
sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang
Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir,
mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai
menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu
pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal
dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan
perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim.
Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki.
Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan
dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
b.
Perkembangan
Teori Bilangan
1) Teori Bilangan Pada suku Babilonia
Matematika
Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa
Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban
helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia
sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika
Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan
Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus
Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan
dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia
diturunkan dari lebih dari pada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak
1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah,
dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di
antaranya adalah karya rumahan.
Bukti
terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun
peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi
sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan
tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan
geometri dan soal-soal pembagian.
Sebagian
besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai
1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan
kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima
kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian
persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan
hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.
2) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir
merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban
helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang
membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut
di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa
Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan
matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang
disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal
dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang
lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu
adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Lembaran itu juga
berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika
dan geometri.
Naskah
matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman
Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal
kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
3) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras
(kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan
bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar
kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode
konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan,
menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras
secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema
Pythagoras.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner.
Pada sekitar
abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap
(perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime
number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square
number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan
segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga
yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b =
c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang
sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring
(hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang
lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan
bilangan komposit.
4) Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan
teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard
Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833),
Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe
Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai
seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan
kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan
sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini,
teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak
diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini
dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris,
kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.
Sejarah Angka
Nol
Angka
nol diperkenalkan sebagai bilangan dan sebagai symbol untuk mengisi ruang
kosong pertama kali oleh al-Khwarizmi. Nol (0) yang dalam bahasa inggris zero yang dapat
diartikan pula empty atau kosong.
Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah garis miring( // ) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah garis miring( // ) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
Pada
komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada.
Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang
membuat bingung dalam operasi perhitungan. Perhatikan contoh ini :
0 = 0 ( nol sama dengan nol, benar)
0 x 3 = 0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)
3 = 89 (???, hasil ini yang membuat bingung)
Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno.
0 = 0 ( nol sama dengan nol, benar)
0 x 3 = 0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)
3 = 89 (???, hasil ini yang membuat bingung)
Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno.
B.
Sejarah
Aljabar
Sejarah
aljabar mulai di Mesir kuno dan Babilonia , di mana orang belajar untuk
memecahkan linear (ax = b) dan kuadrat (a
bx = c) persamaan, dan persamaan yang tak
tentu seperti x 2 + y 2 = z 2, dimana diketahui beberapa yang terlibat.
Orang-orang Babel kuno terpecahkan sewenang-wenang persamaan kuadrat dengan
dasarnya prosedur yang sama diajarkan hari ini. Mereka juga bisa memecahkan
beberapa persamaan tak tentu.
The
Alexandria matematikawan Hero dari Alexandria dan
Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tetapi Diophantus ‘s buku
Arithmetica berada pada tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi
mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit. Dalam abad ke-9, matematikawan
Arab al-Khwarizmi menulis satu dari algebras Arab pertama, uraian sistematis
dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad 9,
ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan
identitas dari aljabar dan memecahkan masalah rumit seperti menemukan x, y, dan
z sehingga x + y + z = 10,
dan
.
Matematikawan
Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana
mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis diperoleh berpotongan
bagian berbentuk kerucut , tetapi ia tidak dapat menemukan formula untuk akar.
Sebuah terjemahan Latin dari Aljabar Al-Khwarizmi muncul di abad ke-12. Pada
abad ke-13 awal, Italia besar matematika Leonardo Fibonacci mencapai pendekatan
yang dekat dengan solusi dari persamaan kubik
Karena Fibonacci telah melakukan perjalanan di wilayah
Islam, ia mungkin digunakan metode Arab dari aproksimasi.
Asal Mula Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa
Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan
hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang
ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan
menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang
biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan
Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa
India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, biasanya masih
menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya
seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’,
‘Euclid’s Elements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil
karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen,
menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar
solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum
untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika
Deduksi.
Aljabar
secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1.
Aljabar
Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa
yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika
Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi
Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini
bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini
sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari
aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya
merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap
sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan
menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan
kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak
diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 =
10″). Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari
rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda menjual x tiket, dan
kemudian anda mendapat untung 3x – 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) =
3x – 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f
bekerja.”).
2.
Aljabar Abstrak,
kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam
Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara
aksiomatis.
3.
Aljabar Linier,
yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks).
4.
Aljabar
Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.
Dalam
studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan
Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan
telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar
tersebut dalam bidang Topologi.
C. Sejarah
statistik
a)
Pengertian statistik
Mempunyai persamaan arti dengan katastate (bahasa
Inggris) atau kata staat (bahasa Belanda), dan yang dalam
bahasa Indonesia diterjemahkan menjadi negara.
Pada mulanya, kata “statistik” diartika sebagai “kumpulan bahan keterangan
(data), baik yang berwujud angka (data kuantitatif) maupun yang tidak berwujud
angka (data kualitatif), yang mempunyai arti penting dan kegunaan yang besar
bagi suatu negara. Namun, pada perkembangan selanjutnya, arti kata
statistik hanya dibatasi pada “kumpulan bahan keterangan yang berwujud angka
(data kuantitatif)” saja; bahan keterangan yang tidak berwujud angka (data
kualitatif) tidak lagi disebut statistik.
Dalam kamus bahasa Inggris akan kita jumpai kata statistics dan
kata statistic. Kedua kata itu mempunyai arti yang berbeda.
Kata statistics artinya “ilmu statistik”, sedang kata statistic diartika
sebagai “ukuran yang diperoleh atau berasal dari sampel,” yaitu sebagai lawan
dari kata “parameter” yang berarti “ukuran yang diperoleh atau berasal dari
populasi”.
b) Perbedaan statistik dan
statistika
o Devinisi statistik adalah kumpulan data yang bisa memberikan
gambaran tentang suatu keadaan .
o Devinisi statistika adalah ilmu yang mempelajari statistik,
yaitu ilmu yang mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data,
menyajikan data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data
dan mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan.
c)
Pembagian
Statistika
1.
Statistika Deskriptif
Statistika
deskriptif adalah
statistika yang mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data,
menyajikan data, menganalisis data.
2.
Statistika
Induktif atau Inferens
Statistika
inferens
adalah statistika yang mempelajari bagaimana caranya
mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, menganalisis data, membuat
kesimpulan dan mengambil keputusan.
d)
Fungsi dan kegunaan statistik
Ø Fungsi Statistik
Secara singkat
dapat dikemukakan bahwa Statistik sebagai ilmu pengetahuan pada dasarnya
berfungsi sebagai ALAT BANTU. Misalnya:
1)
Sebagai alat
bantu untuk meringkas laporan, baik laporan administratip maupun laporan hasil
penelitian ilmiah, yang berupa atau terdiri dari angka-angka atau
bilangan-bilangan;
2)
Sebagai alat
bantu di dalam menyusun perencanaan, terutama perencanaan yang memerlukan
bahan-bahan keterangan yang berupa angka-angka;
3)
Sebagai alat bantu di dalam mengadakan
evaluasi atau penilaian terhadap suatu gejala, peristiwa atau keadaan, dan lain
sebagainya.
Ø Kegunaan Statistik
Di
antara kegunaan Statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah:
a)
Untuk
menggambarkan keadaan, baik secara umum amupun secara khusus;
b)
Untuk memperoleh gambaran tentang perkembangan
(pasang-surut) dari waktu ke waktu;
c)
Untuk mengetahui
permandingan (membandingkan) antara gejala yang satu dengan gejala yang lain;
(dalam) Untuk menilai keadaan dengan jalan menguji perbedaan antara gejala yang
satu dengan gejala yang lain;
d)
Untuk menilai
keadaan dengan jalan mencari hubungan antara gejala yang satu dengan gejala
yang lain;
e)
Untuk menjadi dasar atau pedoman, baik di
dalam menarik kesimpulan, mengambil keputusan, serta memperkirakan terjadinya
sesuatu hal atas dasar bahan-bahan keterangan (data) yang telah berhasil
dihimpun, dan lain sebagainya.
f)
Untuk menjadi
dasar atau pedoman, baik di dalam menarik kesimpulan, mengambil keputusan,
serta memperkirakan terjadinya sesuatu hal atas dasar bahan-bahan keterangan
(data) yang telah berhasil dihimpun, dan lain sebagainya.
Statistik dipelajari di berbagai bidang ilmu karena
statistik adalah sekumpulan alat analisis data yang dapat membantu pengambil
keputusan untuk mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan pada analisis
data dari data yang di kumpulkan. Selain itu juga dengan statistik kita bisa
meramalkan keadaan yang akan datang berdasakan data masa lalu.
Sejarah Singkat Statistika (awal muncul statistik)
Istilah statistika sudah sangat tua. Statistika
bermula sebagai suatu cara berhitung untuk membantu pemerintah yang ingin
mengetahui kekayaan dan banyaknya warganya dalam usaha menarik pajak atau pun
berperang. William si penakluk memerintahkan diadakannya survey di seluruh
Inggris untuk tujuan pajak dan tugas kemiliteran. Hasil Survey ini dikumpulkan
dalam sebuah kumpulan yang disebut Domesday Book.
Beberapa abad setelah Domesday Book, ditemukan suatu
penerapan peluang empirik dalam asuransi perkapalan, yang tampaknya sudah
tersedia bagi kapal-kapal bangsa Flem pada abad ke-14. Perjudian, dalam bentuk
permainan, telah mengantarkan kita ke teori peluang. Teori ini pertama kali
dikembangkan oleh Pascal dan Fermat sekitar abad ke-17, karena mereka tertarik
pada pengalaman-pengalaman judi Chevalier de Mere.
Kurva normal telah terbukti sangat penting dalam
pengembangan statistika. Persamaan kurva ini pertama kali diumumkan pada tahun
1733 oleh de Moivre. De Moivre sama sekali tidak tahu bagaimana menerapkan
penemuannya tersebut pada data hasil percobaan, dan karyanya ini tetap tidak diketahui
sampai Karl Pearson menemukannya di suatu perpustakaan pada tahun 1924.
Walaupun demikian, hasil yang sama dikembangkan kemudian oleh dua astronom
matematik, Laplace, 1749-1855 dan Gauss, 1777-1855, secara terpisah.
D.
Sejarah
kalkulus
Kalkulus
(Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang
ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga.
Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu
mengenai bentuk , aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk
memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas
dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai
masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus
memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang
saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah
pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang
khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis
matematika.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada
beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
I.
Pada periode
zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi
tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang
merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada
Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume
piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan
menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
II.
Pada zaman
pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil
takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk
persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhaskara II pada
abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang
sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle“.
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang
pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan
dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk
menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap
perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din
al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam
kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan
matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan
kasus khusus dari.. deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
III.
Pada zaman
modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh
matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John
Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory
membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini
bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap
sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan.
Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika
sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus
yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa
keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan
Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan
dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan
nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya “The science of fluxions“. Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan
kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
E.
Sejarah geoetri euclid
Geometri
Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli
matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements
merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah
menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengaruh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya
yang mempunyai isi kandungan matematik Euclid merupakan orang yang pertama
untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk
satu deduksi dan sistem logic yang komprehensif.
Buku
Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah
menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang
pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi,
dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi
yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan
dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan
menerusi kaedah geometri.
Selama dua
ribu tahun, kata adjektif “Euclid” tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada
geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat
jelas sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap
benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah
diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak
boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fizikal.
Satu implikasi daripada teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahawa
geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat ruang fizikal
hanyak sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.
Pendekatan
aksioman Geometri
Euclid merupakan satu sistem aksioman yang mana semua teorema (“penyataan benar”) adalah diambil daripada satu
bilangan aksiom-aksiom yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang
pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksiom):
1.
Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.
2.
Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis
lurus.
3.
Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai
jejari dan satu lagi titik hujung sebagai pusat.
4.
Semua sudut
serenjang adalah kongruen.
5.
Postulat selari.
Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam
satu cara yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua
garis ini mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan
secukupnya.
Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut:
titik, tembereng garis lurus dan garis, sebahagian daripada satu garis, bularan
dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen, sudut-sudut dalaman dan
serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung, dipanjangkan,
lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah
sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri
satah; dalam tiga dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.
Satu bukti daripada buku Euclid “Elements” bahawa
apabila diberikan satu tembereng garis, satu segitiga sama wujud termasuklah
tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya adalah dengan cara
binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε berpusat
pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai
puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 membawa kepada geometri yang sama sebagai
penyataan yang berikut, dikenali sebagai Aksiom Playfair, yang hanya boleh
dipegang hanya konsep di dalam satah itu:
Menerusi
satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu saja garis
yang boleh dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa kewujudan
dan keunikan rajah-rajah geometri, dan penegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita
tidak diberitahu bahawa ada perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi
untuk mencipta dengan tidak lebih daripada satu kompas dan satu pinggiran lurus
yang tidak bertanda. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit
daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana
kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk
membina mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina
di dalam ruang teori berkenaan.
Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan
sebagainya adalah model-model objek yang lebih baik ditakrifkan di dalam sistem
formal, daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan. Sebagai contoh, satu
garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar akan
menjadi lebar.
Elements
juga memasukkan lima “notasi biasa”:
Perkara
yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan
juga adalah setara. Jika
setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara.
Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga
setara antara satu sama lain that coincide with one another equal one another.
Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian
berkenaan.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang
berkaitan dengan magnitud. 1 adalah satu-satunya bagian daripada dasar logik
yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip
“aritmetik”; perhatikan bahwa makna-makna “tambah” dan “tolak” di dalam konteks
geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara takrifan
mempunyai persamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bagian pendasaran
logik atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti “pertembungan,”
definisi yang sangat teliti. 5 adalah satu prinsip mereologi. “Keseluruhan”,
“sebagian”, dan “baki” memerlukan takrifan yang tepat.
F.
Sejarah geoetri non
euclid
Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu
yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat ,
yaitu hiperbolik dangeometri eliptik . Ini
adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika
yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris
umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean ,
tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan
non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima
mendalilkan, yang paralel mendalilkan ,
setara dengan yang Playfair postulat yang
menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang
diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada
tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam
geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhinggabanyak
baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri
eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat
entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk bulat panjang ,
dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Sementara geometri Euclidean ,
dinamai matematikawan Yunani Euclid, termasuk
beberapa dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas
diterima sebagai sah sampai abad ke-19.
Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean
geometri mulai segera setelah karya Euclid ‘s Elemen ditulis.
Dalam
Elemen, Euclid
dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima
postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lain ( proposisi ) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering
disebut sebagai “Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” paralel mendalilkan “,
yang dalam formulasi asli Euclid adalah:
Jika
garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior
pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka
garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang
adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.
Lain yang hebat matematika telah menemukan
bentuk-bentuk sederhana dari properti ini (lihat postulat paralel untuk
laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten
tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk, misalnya,
“Antara dua titik garis lurus bisa diambil”).
Setidaknya seribu tahun, geometers merasa
kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari kelima postulat, dan percaya
itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak
yang berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi,
termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen,
abad ke-11), dengan Persia matematikawan Umar Khayyām (abad 12)
dan Nasir al-Din al-Tusi (abad
ke-13), dan dengan Italia matematika Giovanni Girolamo Saccheri (abad 18).
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat ,
termasuk segiempat Lambert dan Saccheri segiempat ,
adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang .
”Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka
mendalilkan, seperti aksioma Playfair ‘s, memainkan
peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri.
Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar
terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk
Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan
Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean.
Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel
mendalilkan, mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat
paralel. Upaya-upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal
dari geometri hiperbolik dan eliptik.
Khayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari
setara mendalilkan ia merumuskan dari “prinsip-prinsip Bertuah” ( Aristoteles): “Dua
garis lurus berpotongan konvergen dan tidak mungkin untuk dua garis lurus
konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. ” Khayyam
kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut
puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan
sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut
berdasarkan dalil nya dan karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak
disadarinya adalah setara dengan postulat sendiri. Contoh lain adalah anak
al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”), yang
menulis sebuah buku tentang subjek di 1298, berdasarkan pengalaman kemudian
al-Tusi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil . “Dia pada
dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti
proposisi banyak dari Elemen.” Karyanya diterbitkan di Roma tahun 1594
dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang mengkritik
pekerjaan ini serta yang dari Wallis.
Geometri Elliptic
Model sederhana untuk geometri eliptik adalah
bola, di mana garis ”lingkaran besar “(seperti ekuator atau meridian di dunia ), dan
poin yang berlawanan satu sama lain (disebut poin antipodal )
diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari pesawat proyektif nyata .
Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik metrik diperkenalkan
memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model pesawat
proyektif tidak ada metrik tersebut.
Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap
garis yang diketahuiℓ dan titik A, yang tidak
pada ℓ, semua baris melalui A akan
berpotonganℓ.
Geometri Hiperbolik
Bahkan
setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah
model seperti itu ada untuk geometri hiperbolik? Model
untuk geometri hiperbolik dijawab
oleh Eugenio Beltrami,
pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki
sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik , dan
dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang
model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan
bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah
equiconsistent, sehingga
geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika
dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut
dari horosphere model
geometri Euclidean.)
Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi,
untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan Titik, yang
tidak pada ℓ, ada tak terhingga banyak
baris melalui A yang tidak berpotongan ℓ.
Sifat Jarang
Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami
memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak tergantung pada sifat
paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri netral (juga
disebut geometri absolut).Namun, sifat yang membedakan satu
geometri dari yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima
perhatian yang besar.
Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus
umum, disebutkan dalam pendahuluan, kami juga memiliki berikut ini:
Sebuah segiempat Lambert adalah
segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut keempat dari segiempat Lambert
adalah akut jika
geometri hiperbolik, sebuah sudut yang tepat jika
geometri Euclidean adalah atau tumpul jika
geometri adalah berbentuk bulat panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada
dalam geometri Euclidean.
Sebuah segiempat Saccheri adalah
segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang yang sama, baik tegak lurus ke
samping disebutbasis. Dua lainnya dari sudut segiempat Saccheri disebut sudut
puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak dari sebuah
segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika
geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang.
Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang
dari 180 ° jika geometri hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean,
dan lebih besar dari 180 ° jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga
adalah nilai numerik (180 ° – jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini
juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga dalam geometri hiperbolik adalah
positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah nol, dan cacat segitiga
dalam geometri eliptik adalah negatif.
Pentingnya
Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan .
Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan
Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dariruang . Selain
itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetisadalah pameran
kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak.
Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari, terus
menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep hiperbolis dan
elips.
Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak
yang jauh melampaui batas-batas matematika dan ilmu pengetahuan. FilsufImmanuel Kant pengobatan
itu pengetahuan manusia memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh
utama tentang sintetis pengetahuan apriori, tidak berasal dari indera atau
disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang ruang merupakan kebenaran
bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini geometri
unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan
dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah
hasil dari pergeseran paradigma.